跪求人教B版高中数学必修五数列问题的解决方法及经典题型

数列问题中的数学思想方法

数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等）。在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。

一、 函数思想

数列是一种特殊的函数，数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。

例1.已知数列的通项公式 ，这个数列从第几项起，各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正？数列中是否存在数值与首项相同的项？

分析：根据条件，数列 的点都在函数 的图象上，如右图利用图象根据二次函数的性质可得，这个数列从第5项开始，各项的数值逐渐增大，从第9项起，各项的数值均为正数，第9项是与首项相同的项。

例2．已知数列 是等差数列，若 ， ，求 。

解： ，故 为等差数列，其通项为一次函数，设 ，则点 ， ，在其图象上， ， ， ，

故 ，解之得： 。

评注： 是关于n的一次函数，其图象是直线上的离散点。本题是利用待定系数法建立一次函数来求解 。

例3．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ， 。

（1）求公差d的取值范围；（2）指出 、 、 …… 中哪一个值最大，并说明理由。

分析：对于（1），可考虑由 ， 建立关于d的不等式组，对于（2）由 是n的二次函数加以考虑，转化为求二次函数的最值问题。

解：（1）由 知 ，

（2）

， 是关于n的二次函数，图象的对称轴方程为： ，

， ，故当整数 时， 最大，即 最大。

评注：对于等差数列来说， 是n的二次函数，且常数项为零，可写为 的形式，其图象必过原点，对于此题来说，由于 ， ，故图象与x轴的另一交点横坐标

，满足 ，故对称轴为 ， ，因此，判定 时 最大，以上思维过程更为简捷。

例4．等差数列 的首项是2，前10项之和是15，记 求 及 的最大值．

分析：由已知可求出公差d．解好本题的关键是对“ ”这一表达式准确、全面的认识： 是数列 的子数列，其中2，4，8，……， 组成等比数列， 则是这一子数列的前n项和，认识到上述三点，问题不仅较易于解决，而且从不同角度入手可得到求 最大值的不同解法．

解：设等差数列 的公差为d，由已知：

，解得

求 的最大值有以下三种解法．

解法一：

由

令 ，解得

又 ，解得

即在数列 中：

，

所以当 时， 的值最大，其最大值为：

解法二：

数列 的通项

令 ，得 ，

由此可得

故使 ， 的最大值为4．

∴

解法三：

由 ，若存在自然数 ，

使得 ，且 ，则 的值最大．

解得 ，取 时， 有最大值：

反思回顾：上述三种求 最值的方法都是运用函数思想．解法一是通过数列 的单调性及 值的正负，求子数列 的前n项和 的最值．解法二是直接研究子数列 ．解法三是研究 的单调性求其最值，解法三还可简化为研究函数 的单调性．

二、 方程思想

数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量 ，“知三求二”是一类最基本的运算。因此方程的观点是解决此类问题的基本数学思想与方法。

例5、设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的自然数 ， 与2的等差中项等于 与2的等比中项，求 的通项公式。

解：由题意可知 整理得： ，当 时 解得 。又 - ，整理得： ，又 ， ，即 是首项为2，公差为4的等差数列， 。

点评：本例利用了方程的消元思想由 、 消去 得到了

这一方程找到了数列中相邻两项的递推关系，使问题得到了解决。值得注意的是有的时候可借助 消去 利用 递推关系解题。

例6、已知等差数列 的公差是正数，并且 ，求前n项的和 。

解：由等差数列 知： ，从而 ，故 是方程 的两根，又 ，解之，得： 。再解方程组： ，所以 。

点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径。。

三、 分类讨论思想

所谓分类讨论，就是当问题所给出的对象不能进行统一研究时，我们就需要对所研究的对象分门别类的进行研究，最后综合各类的结果得到问题的解决。

例7、已知等差数列 的前n项的和 ，求 。

解：（1）当 时， ；

（2）当 时， ；

综合（1）（2）可知 。

点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是 中脚码 必须为正整数。

例8．已知{ }是公比为q的等比数列，且 成等差数列.

（Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）设{ }是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由.

解：（Ⅰ）由题设

（Ⅱ）若

当 故

若

当

故对于

例9．（江西卷）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3 求数列{an}的通项公式.

解：方法一：先考虑偶数项有：

………

同理考虑奇数项有：

………

综合可得

例10． 设等比数列 的公比为 ，前n项和 。

（Ⅰ）求 的取值范围；

（Ⅱ）设 ，记 的前n项和为 ，试比较 与 的大小。

解：（Ⅰ）因为 是等比数列，

当

上式等价于不等式组： ①

或 ②

解①式得q>1；解②，由于n可为奇数、可为偶数，得－1<q<1.

综上，q的取值范围是

（Ⅱ）由 得

于是

又∵ >0且－1< <0或 >0

当 或 时 即

当 且 ≠0时， 即

当 或 =2时， 即

四、 化归与转化的思想

我们在处理数学问题时，常常将待解决的问题通过转化，化归成为一类我们比较熟悉问题来解决。

例11． 已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 ，求 的通项公式。

分析与略解：当n≥2时， ， 。两式相减，得

，

。

可见 是公比为2的等比数列。

又 ， ，

得 ，

则 。

因此 。

两边同除以 ，得

（常数），

可见 是首项为 ，公差为 的等差数列。因此

，

从而 。

评析：本例通过两次化归，第一次把数列化归为等比数列，第二次把数列化归为等差数列，随着化归的进行。问题降低了难度。

例12．设 是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3…），求通项 。

分析与略解：则已知有 。

由 为正项数列，知 ，故有 。（*）

方法1（叠乘法）：由（*）有

。

利用

，

得

方法2（叠加法）：由（*）式，记 ，则 。

利用 得 。

方法3（常数列）：由（*）式有 ，可知 是常数列。

则 ，

得 。

评析：有些数列不易直接化成等差或等比数列，但经推理可寻求特殊的关系转化为可求通项的数列。上例巧妙利用

和 求解。

例13、已知数列 的通项公式为 ，求此数列的前 的和 。

解：

点评：本例是利用转化与化归的思想把数列中的每一项都拆开（拆项相消法）巧妙的求前 和。

例14、求证：

证法1：令 又

证法2：令

则

；

点评：证法1采用拆项分组求和证明的，证法2采用的是倒序相加法求和证明的。

总之由上可知化归与转化的思想中隐含着许多数学方法如消元法、构造法、错位相减法、倒序相加法、拆项相消法、拆项分组求和法等。

五．归纳猜想数学归纳思想

例15．设数列{an}的首项a1=a≠ ，且 ,

记 ，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a2，a3；

（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；

（III）求 ．

解：（I）a2＝a1+ =a+ ，a3= a2= a+ ；

（II）∵ a4=a3+ = a+ , 所以a5= a4= a+ ,

所以b1=a1－ =a－ , b2=a3－ = (a－ ), b3=a5－ = (a－ ),

猜想：{bn}是公比为 的等比数列?

证明如下：

因为bn+1＝a2n+1－ = a2n－ = (a2n－1－ )= bn, (n∈N*)

所以{bn}是首项为a－ , 公比为 的等比数列?

（III） .

例16．（湖南卷）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；

（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅱ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的

最大允许值是多少？证明你的结论.

解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.

猜测：当且仅当a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变.

（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*

由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知

0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.

而x1∈(0, 2)，所以

由此猜测b的最大允许值是1.

下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*

①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),

则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk?)>0.

又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,

所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

例17．已知数列

（1）证明

（2）求数列 的通项公式an.

解：（1）方法一 用数学归纳法证明：

1°当n=1时，

∴ ，命题正确.

2°假设n=k时有

则

而

又

∴ 时命题正确.

由1°、2°知，对一切n∈N时有

方法二：用数学归纳法证明：

1°当n=1时， ∴ ；

2°假设n=k时有 成立，

令 ， 在[0，2]上单调递增，所以由假设

有： 即

也即当n=k+1时 成立，所以对一切

（2）下面来求数列的通项： 所以

,

又bn=－1，所以

最后，数学思想与方法是数学“灵魂”，它并不是完全抽象的东西，而是以数学知识为载体的客观存在的内容，是人们解题经验的积累，解题方法提炼和总结，具有应用性、概括性和指导性。因此在数列复习时，应高度重视数学思想方法的渗透，让学生领悟其价值、滋生应用的意识。

高考中求数列的通项公式共有几种方法。

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你好！数列题目也就是数量关系部分！数量关系部分的做题技巧如下：数量关系解题技巧 数量关系部分主要有两种题型：数字推理和数字运算。 数字推理包含：等差数列及其变式；两项之和等于第三项；等比数列及其变式；平方型及其变式；立方型及其变式；双重数列；混合型数列；一些特殊的排列规律等类型。对这 几种题型解题方法如下：（1）观察法。这种方法对数字推理的所有题型(较简单的，基础性的)均适用。观察法对考生的要求比较高，考生要对数字特别敏感，这样才能一眼看出题目所属的类型。 （2）假设法。在做题之前要快速扫描题目中所给出数列的各项，并仔细观察、分析各项之间的关系，然后大胆提出假设，从局部突破(一般是前三项)来寻找数列各项之间的规律。在假设时，可能一次假设并不能找到规律，这就要求考生有较好的心理素质，并迅速改变思路进行第二次假设。 （3）心算要多于笔算。笔算因为要在纸面上进行，从而会浪费很多时间。 （4）空缺项突破法。大体来说，如果空缺项在最后，要从前往后推导规律。如果空缺项在最前面，则相反。如果空缺项在中间，就需要看两边项数的多少来定，一般从项数多的一端来推导，然后延伸到项数少的一端来验证。 （5）先易后难法。考生或许都能意识到这一点。在做简单题时，考生有时突然就有了难题的思路。同时这种方法还能激发考生临场发挥的潜力。 数学运算包含：比例分配问题；和、倍、差问题；混合溶液问题；植树问题；预算问题等十余种。对这十余种题型解答的大体解法笔者亦总结如下： （1）凑整法。这种方法是简便运算中最常用的方法。主要是利用交换率和结合律，把数字凑成整数，再进行计算，就简便多了。 （2）基准数法。当遇到两个以上的数字相加时，可以找一个中间数作为基准，然后再加上或减去每个加数与基准数的差，从而求得它们之和。 （3）查找隐含规律法。考生需记住，国家公务员录用考试中的题目，几乎每一道数学运算题都有巧妙的解法，这些解法就是隐含的规律。找到这些规律，便会达到事半功倍的效果。 （4）归纳总结，举一反三法。考生在做模拟题时要充分做到归纳总结。这样才能在考场上做到举一反三，增强必胜的信心。（5）常用技巧掌握法。掌握常用的解题技巧，如排除法、比较法等等。熟练掌握这些客观题解题技巧会帮助考生快速、准确地选出正确的答案，从而提高答题的效率。

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高考中求数列的通项公式主要有以下七种方法，具体情况说明如下：

1.

公式法，当题意中知道，某数列的前n项和sn，则可以根据公式求得an=sn-s(n-1).

2.

待定系数法：若题目特征符合递推关系式a1＝A,an＋1＝Ban＋C(A,B,C均为常数，B≠1,C≠0)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。

3.

逐项相加法：若题目特征符合递推关系式a1＝A(A为常数)，an+1=an+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。

4.

逐项连乘法：若题目特征符合递推关系式a1=A（A为常数）,an+1=f(n)?an时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。

5.

倒数法：若题目特征符合递推关系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0，(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。

6.

其他观察法或归纳法等。